Gravitaatio ja satelliitin liike

Planeetan aiheuttama putoamiskiihtyvyys tietyllä etäisyydellä planeetasta ilmaisee planeetan aiheuttaman gravitaatiokentän suuruuden kyseisellä etäisyydellä: \[g_r=\gamma \frac{m}{r^2},\] missä \(\gamma\) on gravitaatiovakio, \(m\) planeetan massa ja \(r\) etäisyys planeetan keskipisteestä.

Tässä tehtävässä mallinnetaan satelliitin liikettä, joka kiertää maapalloa 840 km:n korkeudella tasaisella nopeudella. Tarkoitus on etsiä mallintamalla nopeus, jolla tasainen ympyräliike kyseisellä korkeudella toteutuu ja lisäksi tarkistaa tulos laskemalla.

Tehtävässä on annettu muutamia rivejä koodia, tässä on tarkoitus ohjelmoida itse hiukan enemmän kuin aiemmissa tehtävissä.

Tehtävät:

Osa 1

Tehtävänannot ovat koodin seassa kommentteina, mutta lisättäköön ne myös tähän. Tavoitellut koodirivit löytyvät, "näytä vastaus" -nappien takaa, mutta yritä luoda ne itse.

1. Luo muuttuja "maan_massa" ja anna sille oikea arvo.
2. Luo muuttuja "gamma" (gravitaatiovakio) ja anna sille oikea arvo.
3. Luo muuttuja "g_r", joka on maan gravitaatiokentän voimakkuus (eli satelliitin kokema putoamiskiihtyvyys) satelliitin etäisyydellä maan keskipisteestä. kirjoita g_r:lle lauseke gamman, maan massan ja satelliitin etäisyyden mag(satelliitti.pos) avulla.
Näytä vastaus

maan_massa = 5.974*10**24 #kg
gamma = 6.67428*10**-11 # Nm^2/kg^2
g_r = gamma*maan_massa / mag(satelliitti.pos)**2

4. Luo muuttuja nopeus (joka on satelliitin nopeus) - tätä on tarkoitus vaihdella ja etsiä oikea nopeus.
5. Luo vektori satelliitti.nopeus, jossa satelliitille annetaan aluksi muuttujan "nopeus" suuruinen y-suuntainen nopeus
6. Luo muuttuja "t" (aika) ja aseta se aluksi nollaan
7. Luo muuttuja "dt", joka kuvaa sitä, kuinka paljon aikaa kasvatetaan kerrallaan. (arvo voi olla esim. 1)
Näytä vastaus

nopeus = 9000
satelliitti.nopeus = vector(0,nopeus,0)
t = 0
dt  = 1


Silmukka:
8. Luo yhtälö satelliitin nopeuden muuttumiselle - vinkki: Yhtälö: \(v = v_0 + a\Delta t\) (ja apua tehtävästä 2 normaalikiihtyvyys)
9. Luo yhtälö satelliitin paikan muuttumiselle: \(s = s_0 + v\Delta t\)
10. Kiihtyvyyden suuruus ja suunta (ja koko vektori) pitää myös päivittää sillä ne riippuvat satelliitin paikasta.
11. Lopuksi kasvata aikaa muuttujan "dt" verran
Näytä vastaus

# Nämä silmukkaan:

satelliitti.nopeus = satelliitti.nopeus + g_vek*dt
satelliitti.pos = satelliitti.pos + satelliitti.nopeus*dt

g_r = gamma*maan_massa / mag(satelliitti.pos)**2
kiihtyvyys_suunta = -norm(satelliitti.pos)
g_vek = g_r * kiihtyvyys_suunta

t = t + dt

Osa 2

Kun olet saanut satelliitin kiertämään maata, etsi kokeilemalla nopeus, jolla satelliitti saadaan pysymään ympyräradalla. Tarkista vastauksesi laskemalla nopeus yhtälöiden \(F=\gamma \frac{mM}{r^2}\) ja \(a_n=\frac{v^2}{r}\) avulla.