Ympyrä, osa 2: pinta-ala
Tehtävässä on tavoitteena löytää kaava ympyrän pinta-alalle, kun ympyrän säde tunnetaan.
Tehtävä 1
Aloitetaan tutkimalla säännöllistä monikulmiota allaolevan sovelluksen avulla. Voit muuttaa monikulmion kulmien lukumäärää liukukytkimestä. Tutki monikulmiota, vastaa kysymyksiin ja siirry eteenpäin.
Nyt siis tiedämme millaista muotoa säännöllinen monikulmio lähestyy, kun kulmien määrää kasvatetaan. Seuraavaksi tehtävänä on muodostaa lauseke monikulmion pinta-alalle. Lähestymme siis sen avulla ympyrän pinta-alaa.
Tehtävä 2
Muodosta lauseke monikulmion pinta-alalle käyttäen hyväksi oranssia kolmiota(ABC). Yritä saada aikaan lauseke, joka toimii kaikilla \(n\):n arvoilla.
Oranssin kolmion pinta-ala saadaan tutusti "kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella" eli \[A_{ok}=\frac{hk}{2}\,\,.\] Pienen tarkastelun jälkeen huomataan, että näitä kolmioita mahtuu monikulmioon aina kulmien lukumäärän verran. Eli monikulmion pinta-ala on \[A_{mk}=n\cdotp A_{ok} = n\cdotp\frac{hk}{2}=\frac{hkn}{2}\,\,.\] Mikä monikulmion osa itseasiassa on ylläolevassa lausekkeessa oleva \(k\cdotp n\)?
Tehtävä 3
Viimeisenä tehtävänä on muodostaa lauseke ympyrän pinta-alalle käyttäen hyväksi tähän mennessä saamiamme tietoja. Yritä ensin ilman apua, ja jos ei onnistu, klikkaile apuja auki pikkuhiljaa.
Idea on siis se, että ajatellaan kulmien lukumäärän \(n\) kasvavan todella suureksi. Huomasimme jo tehtävässä 1, että monikulmio lähestyy silloin ympyrän muotoa. Tämän havainnon avulla olisi tarkoitus muokata monikulmion pinta-alan kaava \[A_{mk}=\frac{hP_{mk}}{2}\,\,\] ympyrän pinta-alan kaavaksi. Ympyrän pinta-alan täytyy riippua siis vain ympyrän säteestä \(R\).
Kun n kasvaa todella suureksi niin \(h\) lähestyy ympyrän sädettä \(R\). Matemaattisesti ilmaistuna kun \(n\rightarrow \infty\), niin \(h\rightarrow R\). Mitä monikulmion piiri lähestyy, kun n lähestyy ääretöntä?
Kun \(n\rightarrow \infty\), niin \(P_{mk}\rightarrow 2 \pi R\) eli monikulmion piiri lähestyy ympyrän piiriä, koska monikulmio lähestyy ympyrän muotoa. Eli kun \(n\rightarrow \infty\), niin \[A_{mk}\rightarrow \frac{R\cdotp 2 \pi R}{2}=\pi R^2\] ja koska huomasimme, että monikulmio lähestyy ympyrän muotoa tämän täytyy olla ympyrän pinta-alan kaava!